[原创]用经典力学定量解释巡航扑翼

人力扑翼

  

作者：魏朝阳

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    人类对扑翼研究了很久，至今理论还远不圆满。目前中国和世界对扑翼的研究热度高涨。小型和微型扑翼机已经有不少成品成功飞行，但效率远不理想，大型扑翼还没有真正的成功实践。

    本文用经典力学定性定量地构建了一套新的飞行力学理论，能解决扑翼理论长期存在的多数疑难和困惑，重建扑翼理论基础，促成人造扑翼飞行器实践的新突破。

    新提出的扑翼理论有以下特点：第一，主要面对巡航扑翼。（文中会叙述这样做的理由）。第二，全部理论都建立在成熟的经典力学理论之上，其中的飞行力学仅以定常空气动力学为基础。第三，首次从理论上定量地解释了巡航扑翼的力学关系，特别是高效率。

    这套新的扑翼理论有两大部分，第一部分是理论推导，在原理未知的条件下，根据鸟类飞行可观测的特征和成熟的经典力学理论，后验式、倒逼式地推导出巡航扑翼的必要条件。这些推导结论由经典论据的成熟性和理论自洽性而具有定理的性质，是认识扑翼的基础。第二部分是提出了鸟类巡航扑翼方式和原理的新猜想，并用经典力学理论定量分析了其可行性和效率。

    依据该理论提出的扑翼技术方案，具有较透明的技术见底性。

 

1. 理论推导出的巡航扑翼力学特性

    这部分内容不考虑微观气动机理，对任何微观气动机理都适用。

    1.1. 物理模型。

    结构：翼的气动中心（可简称为翼）和主载荷质心（可简称为身）。二者可在纵垂面上相对运动。

    翼的质量可忽略。身的气动作用可忽略。

    力：外部的力有两个。综合气动力（包含阻力）作用于气动中心，重力作用于质心。为了考察动力效率和系统各部分的运动特征，须考虑质心对气动中心的拉力（可简称为对翼拉力）和气动中心对质心的拉力（可简称为对身拉力），这一对拉力互为反作用力。

 

 

    1.2. 周期结算的力学关系

    把长途飞行的常用速度下的宏观等速水平直线飞行称为巡航。这里“宏观”是不考虑一个扑翼周期内的速度、方向等的微观变化，但各个周期之间视为严格相同，各周期对应相位点状态严格相等。于是有以下结论：

    结论一：在巡航扑翼中，综合气动力矢量的周期均值等于重力的反向矢量。

    根据质量不变时合力矢量对时间的积分和速度矢量增量成正比、以及等速水平直线飞行时周期速度矢量增量为0的关系即可证。

    结论二：在巡航扑翼中，对翼拉力矢量的周期均值等于综合气动力矢量的周期均值的反向矢量。（证同上）

    结论三：在巡航扑翼中，对翼拉力矢量的周期均值等于重力矢量。这从前面两结论可推出。

    以上以及类似地，是一套周期平衡关系。只要是水平等速直线飞行就必然成立。

    1.3. 高效率对作动力和综合气动力的限制性要求

    扑翼的自生动力等效为作用于翼的气动中心的对翼拉力的一部分，称为作动力。它和翼的气动中心相对于质心的运动速度的积，是作动功率。

    为了和同质量、同气动特性的固定翼飞行器相对比，设想扑翼在外加牵引力时无动作的水平等速直线滑翔，以此时的飞行功率和上述扑翼作动功率之比作为一种比较功率。有：

 

                    η = P₁/ P₂ = v₁ F₁  / |v₂ F₂ | = v₁ R / |v₂ F₂ | = 

                       = v₁(G /k )/ |v₂ γ G | = 1/|ξ k γ |.
 

其中

    η ——与固定翼同标准的比较效率。

    P₁ ——固定翼飞行功率。

    P₂ ——扑翼动力功率。

    v₁ ——飞行速度。

    F₁ ——飞行前拉力。

    v₂ ——翼气动中心相对于身质心的运动速度。

    F₂ ——作动力。或称变载力。自生动力对翼气动中心的拉力。

    R ——飞行阻力。

    G ——重力。

    k ——升阻比，水平等速直线飞行时k = G / R。

    γ ——变载比，γ = F₂ / G。

    ξ ——动飞比，ξ =| v₂ / v₁ |。可根据扑翼频率和幅度估算动飞比。

    于是有：

    结论四：对于已知动飞比 、升阻比的扑翼，达到和固定翼同标准的比较效率的某个值的必要条件是，变载比绝对值小于或等于比较效率、动飞比、升阻比三者绝对值之积的倒数，即：

    | γ | ≤ 1/ |η ξ k |.

    考虑数值，鸟类的升阻比约二、三十，巡航时的动飞比约0.1到0.4，若要达到0.9以上的比较效率，计算可知变载比的绝对值必须显著小于1，通常0.2~0.4。

    上述推导是瞬时值。如果考虑周期均值，情况类似。

    结论五：如果巡航扑翼效率较高，那么作动力的绝对值的周期均值就应远小于重力绝对值。通常小于重力的一半。这是结论四代入数值后的结论。

    这个结论和前述结论三相结合，可知：

    结论六：如果扑翼效率较高，说明身对翼的拉力除了作动力之外，必然还存在更大的不耗能的力。身对翼的拉力是作动力与这个不耗能力之和。

骨骼能为很多动物提供不耗能的支撑力。但考虑扑翼的动作方向和身对翼的拉力方向大致平行，更可能的是弹性力。从效率角度考虑，弹性力应和重力大体相当，也就是说在滑翔时只靠弹性力维持翅膀横向张开的角度，而不需要象人作吊环十支撑那样费力。

    根据前述各结论，还可以得出一个很重要的结论：

    结论七：巡航扑翼在全周期的综合气动力的垂直分量都是正值。也就是说，上挥也必须有正升力。

    这可以用各种力的垂直分量的时间函数图像来说明。前述各结论，对于相应的垂直分量也都成立。某个力的周期均值正比于其周期积分，即图中的相应面积。见下两个图。

    各个垂直分力的曲线可以按扑翼运动现象作假设，但要符合以下要求：

    a. 根据结论三，对翼垂直拉力曲线的横轴以下面积减去横轴以上面积的差（代数积分），等于重力曲线（直线）和横轴之间的面积。

    b. 垂直弹性力曲线的形态，如果不考虑变长的影响就是水平直线，如果考虑变长系数的影响，就和翼运动轨迹线的形态相似、上下反向。

    c. 根据结论六，对翼垂直拉力曲线和垂直弹性力曲线之间的差就是垂直作动力。又根据结论五，垂直拉力曲线和垂直弹性力曲线之间面积之和（不论正负的绝对值积分），应显著小于重力曲线（直线）和横轴之间的面积。通常小于它的一半。

    d. 根据结论二，忽略翼质量的条件下，垂直综合气动力曲线的形态，以横轴为对称轴基本对称于对翼垂直拉力曲线。它们的对称差仅是翼质量和翼垂直加速度的积。

    用反证法。假设上挥时垂直综合气动力为负，见下图，根据要求d.，那么上挥时对翼垂直拉力就是向上的。根据要求a.，下挥时的垂直拉力就要向下更大。结果，垂直拉力曲线和弹性力曲线之间的面积，即垂直作动力绝对值积分，就无法显著小于重力线和横轴之间的面积了。

 

 

    能够使作动力小到符合效率要求的情况，应如下图所示。

 

 

    这些由假设效率倒推出来的结论，是实现高效率的必要条件。

    1.4. 综合性提示

    综合以上分析，虽然没有明确巡航扑翼的具体原理，但却给出了一些重要的提示。

    第一，巡航扑翼的作动力和综合气动力，只能在一定范围变化。如下图。

 

 

    这意味着，巡航扑翼并不需要特殊的、很大的综合气动力，而是较平稳的综合气动力。综合气动力太大，变化就大，相应地作动力也要增大，效率就不高了。鸟类的滑翔性能很好，这说明定常气动力对于它们的巡航扑翼也是足够用的。

    而且，巡航所需要的综合气动力主要是向上的而不是向前的。飞行阻力只是重力的几十分之一。

    第二，需要把巡航时动飞比显著小于1的情况，和飞行速度很慢时动飞比大于1的情况显著区别开来。

    一切气动作用都依赖于翼和空气的相对运动，即依赖于翼轨迹形态。翼相对于空气的运动，是翼相对于身的运动和身相对于空气的运动的合成。尤其需要注意，合成运动的气动作用，不能用运动分量的气动作用来合成。

    动飞比小的时候，翼相对于空气的运动轨迹的形态只能是小坡度的波状线，动飞比约为该轨迹俯仰角的正切函数。动飞比大的时候，翼相对于空气的运动形态则可能多种多样。所以，巡航和其它状态相比，扑翼作用原理会大不相同。

    而所谓扑翼的高效率，也只可能存在于巡航状态。能巡航飞行几十小时的鸟，在非巡航的其它状态下坚持不了几十分钟甚至几十秒钟。人造扑翼如果要学鸟类飞行的高效率，首先并且主要地是学巡航扑翼。（如果要学鸟类飞行的灵活性，那么非巡航状态也没有高效率，而且为了非巡航状态的机动性所增加重量反而会降低巡航效率）。

2. 对巡航扑翼原理的猜想和定量分析

    2.1. 小变载波状滑翔的巡航扑翼飞行方式

    猜想的巡航扑翼方式有以下特征。

    a. 波状：翼相对于身的上下运动，和整体的前飞运动，合成为翼相对于空气的类似三角波的翼轨迹。用巡航扑翼频率、幅度和飞行速度，可估算出动飞比，进而估算出巡航翼轨迹起伏角度约为一、二十度。（这个特征是观察结果）。

    b. 滑翔：翼轨迹切线方向就是翼的实际迎流方向。翼弦线相对于翼轨迹的攻角，应该一直大于零升攻角（根据前述结论7），并一直小于失速临界角（根据综合提示1和小动飞比情况的猜想），以尽量减小综合气动力方向和迎流方向的法方向之间的特性角。

    c. 变载：包括攻角和对翼拉力这两个量的配合变化。

    翼下滑时，翼轨迹方向（迎流方向）低于水平前飞方向，因此相对于迎流方向稍有后倾的综合气动力，相对于前飞方向却可以是前倾的，此时增大攻角以增大综合气动力的值，即增大了其前向分量，同时配合地增大身对翼的拉力，即在重力的基础上施加一个加载力，以平衡综合气动力在对翼拉力方向上的分量。

    翼上滑时，综合气动力方向必然后倾，此时减小攻角以减小综合气动力的值，即减小了其后向分量，同时配合地减小身对翼的拉力，即在重力的基础上施加一个减载力，以平衡综合气动力在对翼拉力方向上的分量。

    加载力和减载力统称为变载力。

    d. 身的运动：在保持身基本水平而维持高度势能的基础上，由于身和翼之间的拉力变化，必然会使身产生垂直加速度。因此，在翼下滑的过程中，身由于拉力大于重力而作凹曲线运动，在翼上滑时，身由于拉力小于重力而作凸曲线运动。

    由于身的质量较大，这种起伏很小，但在有些鸟类飞行视频中可以看出来。特别是脖颈的蠕动，根据试验知其头部是保持稳定的，那么就是身在起伏，而且相位比翼的上下运动超前90度左右。

    身的垂直起伏现象证明了半周期变载现象的客观存在。能成功飞行的人造扑翼机也都有这种半周期变载。问题是，在理论上没有认识到变载是飞行原理的重要成分，或者把变载视为直接起作用而不是配合攻角变化，在实践上则往往为了弥补攻角不准的缺陷而在无意中使变载量大得非常过分，严重降低效率。所以正确的原理要强调“小变载”。

    这些特征如下图所示。图中将鸟身的部分向下移了，以便画出各个力。（未画翼和身之间拉力的水平分量。和作动方向垂直的力可以由骨骼等的滑动摩擦或摆动的斜拉筋来承受，也是非耗能的力）。

 

 

    小变载波状滑翔克服阻力甚至能加速的原理的实质是：翼的垂直往复运动用来使翼的实际迎流方向往复地偏离整体运动方向，综合气动力方向往复地前倾和后倾，用前倾时加载、后倾时减载的方法，使前倾时的前向分力等于甚至大于后倾时的后向分力。

    2.2. 扑翼各物理量的主要因果关系

    见下图。飞行速度矢量和作动速度矢量合成为翼迎流速度矢量，调整作动速度可以使迎流方向不同于飞行方向。迎流方向和弦线方向构成攻角，调整弦线角度可以改变攻角。迎流速度矢量和攻角形成综合气动力矢量。综合气动力矢量、作动变载力、非耗能拉力共同形成对翼的作用力，因为翼的质量很小，为保持翼的运动状态需要合力基本平衡。重力、作动变载力、非耗能拉力共同形成对身的作用力，身在合力作用下有垂直或水平加速度，对飞行速度矢量和作动速度矢量有反馈影响。

 

 

    作动速度矢量、作动变载力、弦线角度，是三个互相有独立性的主动操作量。

    扑翼动力即变载力并不直接产生飞行所需要的力。飞行所需要的力，是由攻角而产生的综合气动力提供的。攻角并非由变载力产生。变载力用来在翼下滑或上滑的过程中配合综合气动力维持翼的状态。在忽略翼的质量的条件下，翼所受的合力理论上应为0。

    而身所受的合力的垂直分量会使其轨迹稍有弯曲。身所受的合力的水平分量会使其加速或减速。

 

    实现构想中的一种见另文[原创]差动变载人力扑翼构想中国扑翼机官网  http://www.puyiji.com/dispbbs.asp?boardid=12&ID=453&replyID=453

 （续见3楼）

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人力扑翼

（续二）

 

3. 值得反思的几个问题

    本文提出的巡航扑翼理论，和目前世界范围的现有扑翼理论有不少矛盾。尽管本理论第二部分的猜想还有待证实，尽管现有理论有很多珍贵有益之处，但是，不得不客观地看到，现有理论不但也还是猜想、假说，而且远未能圆满解释巡航扑翼的基本原理，特别是存在理论不自洽的错误。为了求真知，也为了发展，还是需要理性客观地反思几个很流行的认识问题。这些反思决不是对现有理论的试验效果不足的责难，而主要是对其理论自洽性的逻辑性的质疑。

    3.1. 关于“不明的大的气动力”

    扑翼界一直在寻找不明机理的大的气动力。

    气动力主要方向和作动方向基本平行，如果气动力大、作用于气动中心的等效作动力却不大，那么无论何种气动机理，气动力都传不到身上去。

    而如果作用于气动中心的等效作动力也要跟着大，那么需求的动力功率也就要跟着增大。任何机械传动都只会降低效率而不可能提高效率。

    按本文前面的几个结论，比重力大太多的气动力，和高效率是相悖的。

    扑翼的高效率不能靠大的力，而是靠精准控制瞬态攻角。

    3.2. 关于上挥负升力及其补偿方法

    认为存在大的气动力的原因之一，源于下挥时升力补偿上挥时负升力的猜想，以求得周期均值能承担重力。

    只要确认巡航扑翼全周期的气动力都有正升力，且在重力反向力附近变化，那么就不需要下挥时有特别大的气动力。

关于上挥和下挥的“面积差”、“时间差”、“形状差”，在高效率巡航时就都不是主要因素。像信天翁、鸮等鸟类巡航时，这些现象都很不明显。在不需改变升力符号的条件下，这些“差”都和同符号的攻角差的垂直作用等效，只是纵向阻力有别。至于 “单向透气”的猜想，不但不符合鸟翅的物理特性，也不符合上挥正升力的要求。

    3.3. 关于雷诺数

    低雷诺数下定常气动力小，是寻找不明的大的气动力的另一个原因。

    大多数鸟类特别是大、中型鸟类，已经具有相当强的滑翔能力。滑翔是毫无非定常气动的。这就说明雷诺数和定常气动力已经足够了。鸟类飞行的雷诺数至少和航模相当，一些几公分的微型航模都能利用定常气动力飞行。

    3.4. 关于非定常气动作用的大小

    非定常气动作用肯定存在，对鸟类也可能有重要作用，但不太可能是鸟类巡航飞行的主要作用。理由是：

    a. 某些大型鸟类的巡航扑翼频率反而很低，非定常气动作用不可能显著。

    b. 如果非定常气动作用是主要的，那么扑翼幅度应该和弦线长度大体相当。而实际上多数鸟类扑翼幅度远远大于弦线长度。

    c. 巡航时前飞速度远大于作动速度，非定常气动很有限。

    d. 水平等速飞行时，阻力只是重力的几十分之一，所需要的气动力应该是垂直分量远大于水平分量。而扑动方向却几乎垂直，向上和向下的运动特性没有显著差别。运动的上下同性和气动力的上下异性的矛盾，很难用单向攻角诱导下洗以外的气动作用来解释。

    3.5. 关于非定常气动的“涡阶”

    从时间上说，如果第i次扑动得到了第i-1、i-2、i-3、、、j、、、次扑动产生的涡的累加能量，那么第j个涡的能量就也要分到第j+1、j+2、j+3、、、i、、、次扑动上去，涡阶作用才能持续。所以累加能量也不会大于1次扑动发出的能量。

    从空间上说，涡的能量作用的延时，必然会使其能量的大部分散布到翼以外的空间去。

    这和“涡阶毁桥”现象有很大区别，涡阶毁桥的能量来自风，如果毁桥能量可以持续存在的话，说明第i个涡的单涡能量已经远大于多个涡累积作用的能量，只不过当前涡的能量在作用时机上分散了，毁桥能量来自之前的一串涡的累加。

    扑翼的涡能量只能来自自己，当前涡的能量要向后几次分配，又接受前面几个涡的能量，时间上顶多是移时等效，空间上还会扩散，只会有更大能量损失。

    所以，无论对鸟类还是昆虫，涡阶效应都不可能是有持续作用的因素。

    3.6. 关于非定常气动的“延迟失速”

    在攻角以一定角速度从小变大的动态过程中，失速临界角会变大，且在延迟失速的很有限的攻角范围内继续按原规律增加些许升力和阻力。

    这个作用只是相当于换了一个更大一点儿的翼，或者换了更快的飞行速度。如果延迟失速作用是主要的，那么，进化出稍大一点儿的翼或者在更快的速度下巡航就行了。所以，利用延迟失速是可能的，但并不是必须的。

    从失速状态返回不失速攻角时也会产生反向延迟，反向延迟期间失速更严重。而气动力的变化越大，作动力绝对值的均值也越大，反而降低效率。

    3.7. 关于非定常气动的“扇涡”

    扇涡对应于鱼尾效应。

    如果说升力主要由翼根部的定常气动力产生，推力主要由翼外段和翼后缘的鱼尾效应产生，那么鸟类为什么没有进化出尾羽扇涡或脚蹼扇涡？

    3.8. 关于尺度律

    飞行生物体积和质量都较小，其原因更可能如下。

    考古发现，飞行能力是从树上跃下时的气动减速能力进化而来的，由下落减速，到滑翔，到巡航扑翼，到助跑起飞，最后才有原地起飞。这个顺序才是由易到难的顺序，违背这个顺序就进化不出飞行能力。奔跑、跳跃都无法直接进化出飞行能力。

    大型动物首先承受不了从高处跃下的落地冲击，所以连进化出气动减速能力的机会都没有。

    进化出了飞行能力的鸟类，大型的长途迁徙能力往往都更强，飞行效率不低于小型鸟类。

    现有的人造小型扑翼难以大型化，是因为效率问题远没有解决。

    按照本文描述的原理，需求的力和功率，都和体重成线性关系，没有尺度率的影响。

    而且由于控制灵敏度和精度是更主要的成功因素，无论是电子测控还是人在有反馈力的情况下训练，大型扑翼反而相对容易。

    3.9. 关于扑翼定义

    首先，无论定义如何，如果小变载波状滑翔原理是理论自洽的，那么鸟类不使用这种原理反而难以理解。其实鸟类扑翼功能就是从滑翔功能进化来的。

    如果鸟类巡航是以小变载波状滑翔原理为主，在巡航时是“滑”而不是“扑”，那么“扑翼”就只是个历史性的带有误解的习惯用语。如果不称为“扑翼”，那么就要说“鸟类大多数情况的上下挥翅都不是扑翼”，会更混乱。

    而且按照“固定翼、旋翼、扑翼”这三大类，如果小变载波状滑翔都归不进去，就成了“第四类飞行方式”。

    所以，扑翼定义的主要属性，应该是翼往复运动，且升推一体，而不能只“顾名思义”了。

    3.10. 现有扑翼机的常见主要问题

    a. 很多没有主动控制翼弦线俯仰角。弹性被动扭转的作用也很差，因为其扭转量和弦线俯仰角成正比，而不是和攻角成正比。用平尾配合动作来形成弦线俯仰有一定效果，但也远不够精确。

    b. 纯机械的动作配合关系，难以适应不同的飞行速度。所以这类扑翼的变速能力很差。 

    c. 由近似匀速的圆周运动产生的简谐线性运动，效率不高。下滑轨迹和上滑轨迹都应尽量直线化，使各个力在整个下滑段尽量均匀，在整个上滑段也尽量均匀。

    d. 没有高灵敏度、高精度的动态攻角控制，经常超出失速临界角，或者低于零升攻角，造成阻力过大，变载力过大，显著降低效率。或者接近简谐运动，不够优化。

    e. 动力承担静重力，严重浪费能量。

    测一下机身的垂直起伏加速度，它对理想变载加速度（约0.2g到0.4g，根据升阻比和动飞比可求出）之比，基本就是其实际功耗和理想功耗之比。如果动力还要承重，实际功耗和理想功耗之比就大于理想变载比的倒数。会差几倍。

    现有的小型扑翼，很像鸟类刚起飞后的加速阶段。由于不能随着速度的增大而调整攻角以进入小变载波状滑翔方式，也就没有进入正确的巡航状态，而停留在低效率的非巡航状态了。

    3.11. 扑翼非巡航状态也要重视定常气动作用

    在非巡航的大动飞比条件下，如图6所示，挥翼方向能产生的迎流方向和运动方向的差角的范围可以很大，攻角范围也可以很大，使定常气动力也有多样的可能，既可以利用定常气动升力又可以利用定常气动阻力。例如原地起飞第一扑就可以使迎流方向和运动方向几乎相反，而且近乎90度的攻角可以获得比升力大一倍左右的阻力。在一个周期的前、下、后、上四个阶段都可能用不同的定常气动方式。多自由度、多作动样式、智能控制，才是实现大动飞比非巡航状态的灵活性的主要途径。

    3.12. 关于扑翼的比较优势

    扑翼和固定翼、旋翼比，主要优势是效率高和机动性强。

    但是，效率高的优点主要体现在巡航，非巡航状态的效率也很低，甚至可能低于多旋翼飞行器。

    效率比较优势的幅度不是很大，而且往复运动不适合太高速度。

    所以，扑翼的高效率，只在人力飞行、太阳能持久留空飞行等效率瓶颈型的用途上，具有独特优势。

    另外，简结构、低噪音、象鸟性等，也有特殊应用意义。其中，简结构不但有低成本优势，也是提高效率的另一个重要因素，甚至比气动原理的效率更有优势。

    所以，扑翼应用主要应该是细分市场、开辟新市场。而不是替代现有飞行器。

[此贴子已经被作者于2019/5/15 13:41:06编辑过]

人力扑翼

（续一）

    2.3. 小变载波状滑翔方式能水平等速飞行的定量条件

    一种假设的理想运动形态是：加载力和减载力反向相等，翼的综合气动力的垂直分量和对翼垂直总拉力反向相等，下滑时间和上滑时间相等。此时翼的下滑和上滑都是概略直线，下滑轨迹俯仰角绝对值和上滑轨迹俯仰角相等。如下图所示。

 

 

    这时只有水平合力。（该水平合力实际上成为翼对身的拉力，而其反作用力使翼处于力的平衡状态）。

    下滑时的水平合力为

        （G +γG）tgλ－ R_d / cosλ = G tgλ+γG tgλ－ R_d / cosλ .

    上滑时的水平合力为

          －（G －γG）tgλ－ R_u / cosλ = － G tgλ+γG tgλ－ R_u / cosλ .

其中

    G ——重力，这里是绝对值。

    γ ——变载比，这里是绝对值。γG是变载力。

    λ ——翼轨迹即迎流方向的俯仰角，这里是绝对值。

    R_d ——下滑时的翼阻力，即下滑时的综合气动力在迎流反方向上的投影。

    R_u ——上滑时的翼阻力，即上滑时的综合气动力在迎流反方向上的投影。

    由于下滑时间和上滑时间相等，于是水平合力平均值为上两式的平均值。于是水平合力平均值为

          （G tgλ+γG tgλ－ R_d / cosλ－ G tgλ+γG tgλ－ R_u / cosλ）/2=

        =γG tgλ－（R_d + R_u）/ （2 cosλ）.

    令G/cosλ和平均阻力（R_d + R_u）/ 2之比为等效升阻比k_e。即

    k_e ——等效升阻比，k_e =2G / （cosλ（R_d + R_u））。

    其中G/cosλ的物理含义是重力在迎流法方向上的投影，和两个综合气动力的升力分量的均值概略相等，如下图所示。

 

 

    等效升阻比k_e约为升力为G/cosλ时的升阻比，见下图。

 

 

    则平均水平合力为

        γG tgλ－（R_d + R_u）/ （2 cosλ）=γG tgλ－G / （k_e cos²λ）=

     = G（γ tgλ－1 / （k_e cos²λ））.

    在实际使用上，可以用该速度下等速直线滑翔的升阻比（滑翔比）来近似作为等效升阻比。而在这里引入这个等效升阻比的概念，是为了在推导充要条件时更充分地估算翼阻力。如果直接用G/k来近似平均阻力则估计不足，用G/k_e来表示则更接近，上式中的阻力项分母多了一个cosλ。

    当平均水平合力等于（大于）0时，即上式括号内大于等于0：

              γtgλ－1 / （k_e cos²λ）≥ 0 .

即            γk_etgλcos²λ≥1.

即            γk_e sinλcosλ≥1.

就能等速（加速）前飞。

    例如，当某鸟的等效升阻比为30、翼轨迹俯仰角为20度时，只需重量的10%的变载力就能保持等速平飞了。

    从这个条件式看，翼轨迹俯仰角越大，需求的变载比就可以越小，可以越省力。但是，第一，翼轨迹俯仰角越大，综合气动力倾斜就越大，为了保证垂直平衡所需求的综合气动力会越大，需求攻角相应增大，但攻角不能大于失速临界角（参见上图），这就反过来限制了翼轨迹俯仰角。第二，翼轨迹俯仰角越大，作动速度也要越快，省力不省功。如果考虑俯仰转换时作动质量和加速度之积，功率损耗会更大。所以要考虑力、功、控制能力等因素综合平衡。

    实际情况还要考虑上滑和下滑相互转换所占用的时间，等其它非理想因素。

    2.4. 功率

    在弹性力等非耗能的力承担重力以及翼和身之间水平拉力的条件下，耗能的动力只用来提供垂直变载力（以下仍简称变载力），作动功率是垂直作动速度和垂直变载力的绝对值之积。

        P₂ = v₂|F₂| = v₂γG .

    下面考虑水平等速直线飞行的需求功率。在前述理想运动状态下，恰好满足水平等速直线飞行条件的变载比为

        γ=1/（k_e sinλcosλ）.

    于是，水平等速直线飞行的需求功率为

        P₂ = v₂γG= v₂G/（k_e sinλcosλ）.

     

    实际计算时，往往是根据飞行速度v₁来计算作动速度v₂，v₂= v₁ tgλ，于是

        P₂ = v₁ tgλG/（k_e sinλcosλ）= v₁G/（k_ecos²λ）.

 

    例如，理论上说，对于人力扑翼，当k_e =15、λ=12°时，需求变载比γ= 0.33。又当v₁ = 8m/s、G =100×9.8m/s²时，人力输出的功率为8×100×9.8/（15×cos²12°） = 546w = 0.74匹马力，作为体育娱乐可以飞一会儿。而对于极端效率型扑翼，如果v₁ =10m/s、k_e =30、λ=8°、G=80kg×9.8m/s²时，那么需要人力输出的功率仅266w = 0.36匹马力，运动员可以持续飞数小时，很有希望超越人力螺旋桨固定翼飞机115Km的世界飞行记录。

    2.5. 比较效率

    为了和同质量的固定翼飞机同标准，仍然用同质量的固定翼飞机的飞行功率P₁ = v₁R₁ = v₁G/k₁与上述作动功率之比作为比较效率

             η= P₁/ P₂ = v₁R₁/ （v₂γG） = R₁ /（ξγG）=

               =（G/k₁）/（ξG/ （k_e sinλcosλ））=

               = k_e sinλcosλ/（k₁ξ）

               = k_e sinλcosλ/（k₁ tgλ）

               = cos²λk_e / k₁.

其中

    η ——以固定翼为标准的比较效率。

    P₁ ——固定翼飞行功率。

    P₂ ——扑翼动力功率。

    v₁ ——飞行速度。

    v₂ ——翼气动中心相对于身质心的运动速度。

    R₁ ——同质量固定翼飞机的飞行阻力。

    γ ——变载比。

    G ——重力。

    ξ ——动飞比，ξ = | v₂ / v₁ |。

    k₁ ——同质量固定翼飞机的升阻比。

    k_e ——等效升阻比。重力在翼轨迹法方向上的投影与扑翼平均阻力之比。

    λ ——翼轨迹即迎流方向的俯仰角，这里是绝对值。

    当k₁ = k_e时

            η=cos²λ.

    可见，当翼轨迹升降角较小的时候，理论比较效率可以很接近1。例如，当λ=15°时，理论比较效率高达0.93。螺旋桨固定翼飞机同类的效率，是螺旋桨的输出气动推力的功率和输入给螺旋桨的机械功率之比，通常60%到80%（和动飞比、桨的进距有关），其中的功率损失主要是使气流产生旋转的无用功。而扑翼的功率损失主要是上滑时对空气有一点儿前推作用，这种损失和上滑角相关，所以比较效率公式是cos²λ。扑翼的作动面虽然比螺旋桨大，但作动速度很小，特别是巡航时，动飞比远小于1，而且翼轨迹俯仰角是动态调整的，鸟类翅膀沿展向的不同扭转量也是可以动态调整的，不存在螺旋桨进距和速度的矛盾以及沿半径扭转量固定的情况，所以效率能比螺旋桨高。

    以上理论效率都未考虑机械传动效率、上滑和下滑相互转换所占用的时间、所有作动部件质量在往复运动中的加速度所产生的能量损耗，等其它非理想因素。扑翼频率过高的时候，往复运动的能量损耗会显著增大，会使扑翼失去相对于螺旋桨的比较优势。

 

（续见4楼）

[此贴子已经被作者于2019/6/5 12:46:56编辑过]

分析的不错哦，只有前倾和后倾转换过程升力会过零点， 其他时间升力应该始终跟重力基本平衡，扑翼机爱好者 认真看看楼主这篇文章吧